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The real line carries a standard topology which can be introduced in two different, equivalent ways. First, since the real numbers are totally ordered , they carry an order topology.

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As a topological space, the real line is homeomorphic to the open interval 0, 1. The real line is trivially a topological manifold of dimension 1.

Up to homeomorphism, it is one of only two different connected 1-manifolds without boundary , the other being the circle.

It also has a standard differentiable structure on it, making it a differentiable manifold. Up to diffeomorphism , there is only one differentiable structure that the topological space supports.

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The one-point compactification of R is a circle namely the real projective line , and the extra point can be thought of as an unsigned infinity.

In some contexts, it is helpful to place other topologies on the set of real numbers, such as the lower limit topology or the Zariski topology.

For the real numbers, the latter is the same as the finite complement topology. The real line is a vector space over the field R of real numbers that is, over itself of dimension 1.

It has a standard inner product , making it a Euclidean space. The inner product is simply ordinary multiplication of real numbers.